Лебединая песня

R.Steel в предисловии к книге «The Earliest Arithmetics in English» приводит несколько примеров вычислений на абаке Герберта из рукописи XII века, приводимых далее с моим разбором  процесса вычислений. Не будем тратить время на сложение и вычитание — процессы несложные и интуитивно понятные.

Умножение

Умножение на абаке Герберта: 4 600 х 23

Умножение производилось последовательно, как многочлен на многочлен, результаты промежуточных умножений складывались. Промежуточные результаты откладывались в соответствующих столбцах а зависимости от разряда умножаемого и множителя, что легко определяется по количеству пустых столбцов (условно – «нулей») справа от каждого множителя.

Деление

Наиболее трудная операция, как обычно – деление, при этом различали два основных способа – без пользования разностями (divisio aurea — золотое) и с разностями (divisio ferrea – железное).

Вот как выглядит пример «золотого» деления  чисел 100 000 : 20 023 в книге «The Earliest Arithmetics in English»:

Последовательность действий:

«Железное» деление, или деление с разностями заключается в том¸ что деление на какое-либо число d заменяется более простым делением на близкое к нему «круглое» число с так, что с=d+Δ. При этом, если Δ=(c-d) и обозначить делимое через a=cm+n, то деление основано на равенстве a/d=m + {(c-d)m + n} / d.

Пример  деления с разностями чисел 900 : 8 в книге «The Earliest Arithmetics in English»:

Последовательность действий:

Любителям математики и поклонниками абака Герберта привожу еще один разбор счета на его абаке (7800 : 166) — если кликнуть на рисунок, он откроется крупнее в новом окне.

Сравним сложность расчетов, например для выражения 8000 : 606  — при расчете на абаке Герберта и — обычном пятиричном абаке.

На абаке Герберта:

На обычном абаке, первый шаг – разбивка 1000 (счетон на линии М) на мелкие счетоны и выделение первой фигуры, совпадающей с делителем:

После получения первого промежуточного результата, равного 10, часть оставшихся жетонов (тысячи и десятки) разукрупняется и компонуется так, чтобы получить еще одну фигуру делителя:

В результате получаем фигуру делителя, имеющую по 3 жетона в каждой стопке, что дает второй промежуточный результат, 3:

Из оставшихся жетонов невозможно сложить фигуру делителя.
Таким образом получаем результат 13 и остаток 122. И нет необходимости знать таблицу умножения!

Итоги: 

Способ вычисления на абаке Герберта достаточно механистичен, однако, требуется хорошее знание таблицы умножения и умение правильно расположить жетоны в колонках соответствующих разрядов. В этом смысле пятиричный абак гораздо более удобен и нагляден.

Данная система счета претендует на позиционность. Однако, символа «0» среди меченых жетонов, как и прежде, нет. Полагают, что в нем не было необходимости, так как на доске в соответствующей колонке просто оставалось пустое поле. В обиходе для записи, как и прежде, использовались римские цифры.

Рассмотренные примеры счета на абаке Герберта вплотную подводят нас к счетному прибору, именуемому «русскими счетами».